Fraktaler

BILDER AV GRÄNSLANDET MELLAN ORDNING & KAOS

Mandelbrotmängden är den mest komplicerade fraktalfigur matematiken känner. Den har en gräns som har detaljer hur långt ner man än förstorar. Grundmönstret upprepas om och om igen, fast i ständigt nya variationer, vilket gör att ständigt nya mönster uppstår i all oändlighet. Mandelbrotmängden och dess släktingar, juliamängderna, är resultatet av ett nytt sätt att undersöka uppförandet hos matematiska funktioner med hjälp av datorer. Av nedanstående bilder är en del framställda på en Macintosh och andra på en PC. Bilderna är i storlek A4. Dom flesta har skrivits ut på färglaserskrivare hos olika reprofirmor i Helsingborg. Gråskalebilderna samt Nr 50 och framåt skriver jag ut på egen färglaserskrivare.

Följande motiv finns: (Klicka på bilden för att förstora...)

Nr 1. Spiraljuvel. Pris 60:-

Nr 2. Ovala fortet. Slutsåld

Nr 3. Peitgens spiral. Slutsåld

Nr 4. Blomkålsjuvel. Slutsåld

Nr 5. I centrum av kaos (version1) Pris 50:-

Nr 6. I centrum av kaos (version2) REA Pris 30:-

Nr 7. Isdrottningar i solnedgång Pris 50:-

Nr 8. Sjöhästarnas lotusfort Slutsåld

Nr 9. Eldslåga bland isdrottningar. Slutsåld

Nr 10. Isgudinnans pärlarmband. Slutsåld

Nr 11. Citadell i mörka vatten. Slutsåld

Nr 12. Biskop kaos spira. Slutsåld

Nr 13. Kaotiska ögon. Pris 40:-

Nr 14. Hierarkier av strålglans Pris 40:-

Nr 15. Moderskeppet väntar. Pris 50:-

Nr 16. Oväder över sagoskogen. Pris 60:-

Nr 17. Gyllene landets pärlepalats. Pris 60:-

Nr 18. Kompassmandala. Pris 60:-

Nr 19. Blomkålsfort. Pris 60:-

Nr 20. De blå spiralernas oändlighet. Pris 60:-

Nr 21. Ny! Bläckfiskmandala. Pris 60:-

Nr 22. Ny! Lagunens dolda skatt. Pris 60:-

Nr 23. Jakobs dröm i Betel. Pris 50:-

Nr 24. Draksegel i väster. Slutsåld

Nr 25. Mysteriets födelse i grotten. Pris 50:-

Nr 26. Kaosflaggor i skymningsljus. REA Pris 30:-

Nr 27. skuggornas troll spricker. Pris 50:-

Nr 28. Det upplysta mysteriet i grottan. Pris 40:-

Nr 29. Kristallbergets sluttning. Pris 40:-

Nr 30. Fraktalkompass. Pris 40:-

Nr 31. Vägen över prärien. Pris 40:-

Nr 32. Mandys totempåle. Pris 40:-

Nr 33. Solnedgång i Mexico I. Pris 60:-

Nr 34. Solnedgång i Mexico II. Pris 60:-

Nr 35. Kubtrollet ögonflörtar. Slutsåld

Nr 36. Storm över trollberget. Pris 60:-

Nr 37. Nordanvindens tempel. Pris 60:-

Nr 38. Kvällshimmel vid sommarsolståndet. Pris 60:-

Nr 39. Juveldrottningens maskeradmask. Pris 60:-

Nr 40. Det brinnande mörkret. Pris 60:-

Nr 41. Månskensnatt vid Loch ness. Pris 60:-

Nr 42. Trolldimmor runt spökgalaxen. Pris 60:-

Nr 43. Mitt hjärtas lotus. Slutsåld.

Nr 44. Det gör ont när knoppar brister. Pris 60:-

Nr 45. Förhänget brister. Pris 60:-

Nr 46.Vapnet som förtäres av eld. Pris 60:-

Nr 47. Mot nya horisonter. Pris 60:-

Nr 48. Stalaktiter i grottan. Pris 60:-

Nr 49. Anfall från fjärde dimensionen. Pris 60:-

Nr 50. Den röda svavelblomman. Pris 60:-

Nr 51. Mysteriets flammande svärd. Pris 60:-

Nr 52. Ny! Gryning över skuggornas berg. Pris 60:-

Nr 53. Trollskog på främmande planet. Pris 60:-

Nr 54. En lans för glädjen. Pris 60:-

Bilderna här på nätet visas med betydligt lägre upplösning. Till varje bild ingår ett illustrerat kompendium som bl a steg för steg visar den spännande resan ner till respektive bild.

Nr 5, 6, 8, 12, 15, 40, 43, samt 44 finns även som s k fototryck på tröja (HANES T-shirt eller college-tröja). med ett tryck av hela mandelbrotfiguren på baksidan. Pris: 180:- för T-shirt och 260:- för college-tröja. Olika specialbeställningar (t.ex. dubbla storleken, A3) kan göras enligt överenskommelse. För närvarande finns nr 19 - 22, samt 50 - 54 färdiga som A3 tryckt på ganska tjockt papper. Pris 120:- (plus porto).

Bilderna kan fås ramade för 30:- extra per bild (fast då kostar portot multum).

Angående mina motiv nr 23 till 52

Medan motiv 1 - 20 är framställda med hjälp av kvadratiska polynom är nr 21 till 49 framställda med hjälp av polynom av 3:e graden. Detta innebär att parameterrymden inte har två dimensioner, som för polynom av 2:a graden, utan fyra dimensioner, alltså en dimension mer än rummet. Detta eftersom 2 komplexa parametrar erfodras. Om högt ärade läsare av detta anslag kunde röra sig ut i en fjärde dimension en lagom sträcka skulle ni se alla ut- och in-sidor av huset där ni nu befinner er samtidigt. Alla rum och dolda utrymmen skulle ligga vidöppna för er, inbegripet att ni skulle se alla inälvor hos folk som befann sig i eller strax utanför huset. Förutsatt att ni hade ert förstånd i behåll, skulle ni sedan kunna röra er in och ut i låsta utrymmen utan att efterlämna några spår. M a o får denna hyperrymd studeras i 3- eller 2-dimensionella genomskärningar. Läs om hur och alla "varför" i dokumentationen till respektive bild eller klicka här .

Motiv 53 och 54

Dessa motiv är gjorda med min kompassformel, en formel jag programerat själv. Mer info och varför den heter "kompassformeln" kan ni läsa om i min artikel 27) Compasses i min min serie av illustrerade fraktalartiklar (se nedan). Se även en två artiklar jag skrev på Usenet, den första en presentation, den andra om ett spökligt fenomen jag upptäkt.

Populärvetenskaplig artikel
Våren 2004 blev jag ombedd att skriva en artikel om fraktaler i en hembygdstidning där jag bor. Klicka här så får du läsa den i ocencurerat skick

Illustrerade fraktalartiklar
För ett par år sedan skrev jag en artikelserie om fraktaler för ett par mejlgrupper. Dessa är nu redigerade och uppladdade under namnet Chaotic series of fractal articles För att hänga med den matematiska delen krävs egentligen, förutom normala skolkunskaper, endast baskunskaper om komplexa tal. Kunskaper om detta kan man söka på nätet, eller kan man läsa kapitel 3 & 4 i nedanstående alster. Dessa kapitel är tillägnade dessa.

Sedan sensommaren 2007 bjuder jag på mitt stora "opus"

Vägen till mandelbrotmängden (((pdf)

Introduktion till matematiken bakom mandelbrot & julia-fraktalerna för folk med grundskolekompetens i matematik. Ett måste för alla som är nyfikna på fraktaler men saknar förkunskaper. Avsett för dubbelsidig utskrift, drygt 40 sidor innehållande ett 30-tal illustrationer. Som ren service kan jag skriva ut det dubbelsidigt för 50:- plus eventuellt porto.

Nyhet: Fr o m 2010 har jag lagt upp en självstudiekurs

Självstudiekurs i Mandelbrot- och Julia-fraktaler för vetgiriga elever

Denna självstudiekurs är ämnad dels för elever på grund- och gymnasieskolan, men även för alla andra i detta avlånga land som är nyfikna och vill lära sig grunden om mandelbrot- och julia-fraktaler (i omvänd ordning). Kursen består av två delar:

I) Lek med den fria programvaran Xaos. Xaos är ett program med s k öppen källkod och finns för plattformarna macOS, LINUX och Windows. En grundläggande introduktion görs till detta enkla lättkörda program.

II) Allvarlig teori och matte. Detta är i själva verket en studiehandledning till mitt ovan nämnda kompendium Vägen till mandelbrotmämgden. Samtidigt som detta läses uppmuntrar jag dig att köra upp illustrationerna i Xaos.

"Kursen" är något av ett pedagogiskt experiment och kommer säkert att ändras och modifieras efterhand.

Gammal nyhet: Den 18 april 2009 var jag med på en manifestation av piratpartiet i Lund. Ett stycke därifrån stod folk från piratbyrån. Kom i samspråk med dom. Dom är INTE piratpartister. Ganska snart fick jag kommentar om fraktallbilden på min tröja. Och så var diskussionen igång.

Lyssna på sju minuters fraktalprat på torget i Lund

När kameran startas har jag börjat visa mitt 12-bladiga visitkort. Jag har alltid svårt att veta på vilken nivå jag skall förklara, men ni får ta det som en sju minuters aptitretare om fraktaler. Hoppas ni blev hungriga, LOL

Min "civila" översiktsida
Sedan april 2007 finns en kommenterad översiktsida till alla mina sidor och artiklar, inklusive den här. Där kan ni bl a läsa lite om Paninis 2 500 - åriga sanskritgrammatik, den äldsta bevarade och mest avancerade grammatiken i värdshistorien!

Hör av er till:

Ingvar Kullberg

Snickaregatan 1B

264 70 KLIPPAN

Tel: 0435 - 224 83

Email-me

För mer ingående information om motiv 1-20, dom kvadratiska, klicka här (engelska)

Och för mer information om dom kubiska, motiven 21 - 49, klicka här .

Och här för att besöka min Cubic Tutorial (matematisk orientering över kubiska polynom på engelska).